Question

11． 如圖，在正方形ABCD中，點E為BC的中點，CF=$\frac{1}{4}$CD，連接AE、AF、EF．設CF=a
（1）分別求線段AE、AF、EF的長（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）求證：△AEF為直角三角形．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)得出AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，由已知條件得出AD=DA=4a，BE=CE=2a，DF=3a，由勾股定理求出AE、AF、EF即可；
（2）求出AE²+EF²=AF²，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出結(jié)論．

解答 （1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠B=∠C=∠D=90°，
∵點E為BC的中點，CF=$\frac{1}{4}$CD，CF=a，
∴AD=DA=4a，BE=CE=2a，DF=3a，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+（2a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
AF=$\sqrt{D{A}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+（3a）^{2}}$=5a，
EF=$\sqrt{C{E}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{（2a）^{2}+{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a；
（2）證明：∵AE²+EF²=（2$\sqrt{5}$a）²+（$\sqrt{5}$a）²=25a²，AF²=（5a）²=25a²，
∴AE²+EF²=AF²，
∴∠AEF=90°，
即△AEF為直角三角形．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．