Question

19．如圖，AP，CP分別平分∠BAC，∠ACD，∠P=90°，設∠BAP=α．
（1）用α表示∠ACP；
（2）求證：AB∥CD；
（3）若AP∥CF，求證：FC平分∠DCE．

Answer 1

分析 （1）由角平分線的定義可得∠PAC=α，在Rt△PAC中根據(jù)直角三角形的性質可求得∠ACP；
（2）結合（1）可求得∠ACD，可證明∠ACD+∠BAC=180°，可證明AB∥CD；
（3）由平行線的性質可得∠ECF=∠CAP，∠ECD=∠CAB，結合條件可證得∠ECF=∠FCD，可證得結論．

解答 （1）解：
∵AP平分∠BAC，
∴∠CAP=∠BAP=α，
∵∠P=90°，
∴∠ACP=90°-∠CAP=90°-α；
（2）證明：
由（1）可知∠ACP=90°-α，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACP=180°-2α，
又∠BAC=2∠BAP=2α，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴AB∥CD；
（3）證明：
∵AP∥CF，
∴∠ECF=∠CAP=α，
由（2）可知AB∥CD，
∴∠ECD=∠CAB=2α，
∴∠DCF=∠ECD-∠ECF=α，
∴∠ECF=∠DCF，
∴CF平分∠DCE．

點評 本題主要考查平行線的判定和性質，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵，即①兩直線平行?同位角相等，②兩直線平行?內錯角相等，③兩直線平行?同旁內角互補，④a∥b，b∥c⇒a∥c．