Question

1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC為直徑畫⊙O，交斜邊AB于點E，點D為AC中點，連接OD，DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）已知AC=6，tan∠ABC=$\frac{3}{4}$，則△ADE的周長是$\frac{48}{5}$，其面積是$\frac{54}{5}$．

Answer 1

分析 （1）證明△OCD≌△OED得到∠OCD=∠OED=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到結論；
（2）解：連結CE，如圖，先利用正切定義計算出BC，再利用勾股定理計算出AB，接著利用面積法計算出CE，然后求△ADE的周長和面積．

解答 （1）證明：∵點D為AC中點，點O為BC的中點，
∴OD為△CAB的中位線，
∴OD∥AB，
∴∠2=∠3，∠1=∠B，
而OB=OE，
∴∠3=∠B，
∴∠1=∠2，
在△OCD和△OED中
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OE}\\{∠1=∠2}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OED，
∴∠OCD=∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：連結CE，如圖，
在Rt△ABC中，∵tanB=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴BC=$\frac{4}{3}$×6=8，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$CE•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CE=$\frac{24}{5}$，
在Rt△ACE中，AE=$\sqrt{{6}^{2}-（\frac{24}{5}）^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∵DE為Rt△ACE的斜邊上的中線，
∴DE=AD=CD=3，
∴△ADE的周長=3+3+$\frac{18}{5}$=$\frac{48}{5}$，S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ACE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{54}{5}$．
故答案為$\frac{48}{5}$，$\frac{54}{5}$．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．解決（1）小題的關鍵是證明△OCD≌△OED．