Question

4．如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形OABC為矩形，OA邊在x軸上，OC邊在y軸上．OB是矩形的對角線，點B的坐標是（8，4），點D在OA上，tan∠ABD=$\frac{3}{4}$．
（1）求點D的坐標；
（2）點P從點O出發(fā)沿OA方向以每秒5個單位的速度勻速運動，過點P作PQ⊥OB，垂足為點Q，過點Q作QN∥x軸交AB于點N，交BD于點M．設(shè)MN=y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，點P的運動過程中，是否存在點Q，使sin∠AQD=$\frac{3}{5}$？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由B的坐標求出OA與AB的長，由tan∠ABD=$\frac{3}{4}$求出AD的長，從而求得OD的長，即可確定出D的坐標；
（2）由AB與OA的長，利用勾股定理求出OB的長，根據(jù)△POQ∽△BOA求出OQ=2$\sqrt{5}$t，從而求得BQ=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$t，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求得y=3-$\frac{3}{2}$t（0＜t＜2）；
（3）分兩種情況分別求出Q的坐標即可．

解答 解：（1）∵B（8，4），
∴OA=8，AB=4，
∵tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$．
∴AD=3，
∴OD=OA-AD=8-3=5，
∴D（5，0）；

（2）如圖1所示，
在Rt△AOB中，OA=8，AB=4，
根據(jù)勾股定理得：OB=$\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵∠PQO=∠BAO=90°，∠POQ=∠BOA，
∴△POQ∽△BOA，
∴$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$，即$\frac{OQ}{8}$=$\frac{5t}{4\sqrt{5}}$，
∴OQ=2$\sqrt{5}$t，
∴BQ=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$t，
∵QN∥x軸，
∴$\frac{BN}{AB}$=$\frac{BQ}{OB}$=$\frac{MN}{AD}$=$\frac{4\sqrt{5}-2\sqrt{5}t}{4\sqrt{5}}$，
∴$\frac{y}{3}$=1-$\frac{1}{2}$t，
∴y=3-$\frac{3}{2}$t（0＜t＜2）
（3）如圖2，當t=1時，P和D重合，
∵DQ⊥OB，BA⊥OA，
∴A、B、Q、D四點在以BD為直徑的圓上，
∴∠AQD=∠ABD，
∴tan∠AQD=tan∠ABD=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{3}{4}$；
∵AD=3，AB=4，
∴BD=5，
∴OD=BD=5，
∴Q是OB的中點，
∴Q（4，2）；
當t=2時，Q與B重合，則Q（8，4），顯然tan∠AQD=tan∠ABD=$\frac{3}{4}$；
∵0＜t＜2，
∴當Q（4，2）時，sin∠AQD=$\frac{3}{4}$．

點評 此題考查了相似型綜合題，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，分類討論時注意考慮問題要全面，做到不重不漏．