Question

9．如圖1，⊙O的直徑BC的長(zhǎng)為6，AB與⊙O相切于點(diǎn)B．點(diǎn)D是半圓上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）當(dāng)∠A+2∠C=180°時(shí)，請(qǐng)你判斷點(diǎn)D是否是直線AD與⊙O的唯一交點(diǎn)，說明理由．
（2）如圖2，DE⊥AD，交BC于點(diǎn)E．若tan∠CAB=$\frac{3}{2}$，EB=2CE．求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，證明AD與⊙O相切，即可得出結(jié)論；
（2）連接AE、BD、DC，根據(jù)題意求得BE=4，CE=2，AE=4$\sqrt{2}$，根據(jù)圓周角定理求得∠BDC=90°，進(jìn)而求得∠ABD=∠CDE，然后證得△DCE∽△DAB，得出$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CE}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，得出AD=2DE，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

解答 解：（1）點(diǎn)D是直線AD與⊙O的唯一交點(diǎn)．
理由如下：
如圖1，連接OD，
∵∠DOB=2∠C，∠A+2∠C=180°，
∴∠A+∠BOD=180°，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠B=90°，
∴∠ADO=90°，
∴AD與⊙O相切，
∴點(diǎn)D是直線AD與⊙O的唯一交點(diǎn)；

（2）如圖2，連接AE、BD、DC，
∵AB與⊙O相切于點(diǎn)B，
∴∠B=90°，
∵tan∠CAB=$\frac{3}{2}$，BC=6，
∴AB=4，
∵EB=2CE，
∴BE=4，CE=2，
∴AE=4$\sqrt{2}$，
∵BC是直徑，
∴∠BDC=90°，
∵∠ADE=90°，
∴∠ABD=∠CDE，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠DCE+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠DCE，
∴△DCE∽△DAB，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{CE}{AB}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=2DE，
在RT△ADE中，AE²=AD²+DE²，
∴（4$\sqrt{2}$）²=（2DE）²+DE²，
∴DE=$\frac{4}{5}$$\sqrt{10}$，
∴AD=2DE=$\frac{8}{5}$$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角形相似的判定和性質(zhì)，（2）證得三角形相似是解題的關(guān)鍵．