Question

在平面直角坐標系中，四邊形ABCD為正方形，點D坐標為（4，4），點P坐標為（3，3），將三角板的直角頂點與P重合，一條直角邊與x軸交于點E，另一條直角邊與y軸交于點F，將三角板繞點P旋轉．
（1）當△POE為等腰三角形時，求點F的坐標；
（2）設E（t，0），PF、PE與正方形ABCD所夾面積（陰影面積）為S，直接寫出S關于t的函數(shù)關系式及自變量t的取值范圍．

Answer 1

考點：旋轉的性質,坐標與圖形性質,全等三角形的判定與性質,等腰三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉的性質“旋轉不改變圖形的大小和形狀”以及等腰三角形的性質解答．
（2）四邊形PECD的面積為S=S_{正方形OMPN}．

解答：解：（1）△POE是等腰三角形的條件是：OP、PE、EO其中兩段相等，P（3，3），那么有：
①PE⊥OC和F點過（0，0）點，PE=OE，
則F點是（0，3）和（0，0）；
∵P坐標為（3，3），
∴OP=3

2

，
②PE⊥OP和F點過（0，6-3

2

），
則PE=OP，
則F點是（0，6+3

2

）和（0，6-3

2

）．
綜上所述，符合條件的點F的坐標是：（0，3）或（0，0）或（0，6-3

2

）或（0，6+3

2

）；

（2）過點P作PM⊥BC，垂足為M，PN⊥OA于點N，
則△PFN≌△PEM．
∴PN=PM，
∴四邊形OMPN是正方形，
∵E（t，0），
∴OE=t．
∵點D坐標為（4，4），點P坐標為（3，3），
∴PM=3，OM=3，
∴四邊形PECD的面積為S=PN²=9．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了勾股定理和等邊直角三角形的性質．