Question

10．已知矩形ABCD．如圖1，以AD、AB為邊向內(nèi)作等邊△ADE和等邊△ABF，延長DF、BE相交于點G．
（1）求證：DF=BE．
（2）猜想∠EGF的度數(shù)，并說明理由．
（3）如圖2，當(dāng)點G位于對角線AC上時，
①求證：∠DGA=∠BGA；
②直接寫出GE與BE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)可證明△ADF≌△AEB，可證明DF=BE；
（2）由（1）證明△ADF≌△AEB，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)可得到∠DEA+∠AEB=∠GDE+∠EGF，整理可得到∠EGF=120°；
（3）①過點A作AM⊥DG，AN⊥BG于點M、N，可證得△AMF≌△ABN，可得AM=AN，根據(jù)角平分線的判定可知∠DGA=∠BGA；
②連接EF，可證得EF=BE，在Rt△GEH中，利用三角函數(shù)的定義可求得sin60°=$\frac{EH}{GE}$，可證得結(jié)論．

解答 （1）證明：∵△ADE與△ABF均為等邊三角形，
∴AD=AE，AF=AB，且∠DAF+∠FAE=∠BAE+∠FAE=60°，
∴∠DAF=∠BAE，
在△ADF和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAF=∠BAE}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△AEB（SAS），
∴DF=BE；
（2）解：猜想∠EGF=120°．
理由如下：∵△ADF≌△AEB，
∴∠AEB=∠ADF=∠GDE+∠ADE=∠GDE+60°，
又∵∠DEB=∠GDE+∠EGF，
即∠DEA+∠AEB=∠GDE+∠EGF，
∴60°+∠GDE+60°=∠GDE+∠EGF，
∴∠EGF=120°；
（3）①證明：如圖1，過點A作AM⊥DG，AN⊥BG于點M、N，

∵△ADF≌△ABE（已證），
∴∠DFA=∠EBA，AF=AB，
且∠FMA=∠BNA=90°，
在△AMF和△ABN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFA=∠EBN}\\{∠FMA=∠BNA}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△ABN（AAS），
∴AM=AN，
∵∠FMA=∠BNA=90°，
∴∠DGA=∠BGA；
②解：BE=$\sqrt{3}$GE．
理由如下：
如圖2，連接EF，

由題意可知AE垂直平分BF，所以EF=BE，
又∵∠EGF=120°，∠DGA=∠BGA（已證）
∴∠BGA=60°，
由條件又可證EF⊥AC于點H，可得EH=FH，
在Rt△GEH中，sin∠AGE=$\frac{EH}{GE}$，即sin60°=$\frac{EH}{GE}$，
∴2EH=$\sqrt{3}$GE，即BE=$\sqrt{3}$GE．

點評 本題主要考查矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的判定和三角函數(shù)的定義等知識點的綜合應(yīng)用．在（1）中求得∠DAF=∠BAE，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵；在（2）中利用全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)得到∠DEA+∠AEB=∠GDE+∠EGF是解題的關(guān)鍵；在（3）①中利用三角形全等證明AM=AN是解題的關(guān)鍵，在②中利用三角函數(shù)的定義找到EH和GE的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．本題知識點較多，綜合性較強，難度較大．