Question

10．已知：如圖所示的一張矩形紙片ABCD（AD＞AB），將紙片折疊一次，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，再展開，折痕EF交AD邊于點(diǎn)E，交BC邊于點(diǎn)F，分別連結(jié)AF和CE；過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AD交AC于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形AFCE是菱形；
（2）求證：2AF²=AC•AG；
（3）若AE=a，在△ABF中，AB＞BF，△ABF的面積為b，且b=$\frac{6{a}^{2}}{25}$，求tan∠OEG．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時(shí)，折痕EF垂直平分AC，由OA=OC，得∠AOE=∠COF=90°，由題意得AD∥BC，∠EAO=∠FCO，可證明△AOE≌△COF，從而得出∴四邊形AFCE是菱形．
（2）由EG⊥AD，得∠AEG=90°，可證明△AOE∽△AEG，寫出比例式$\frac{AE}{AG}$=$\frac{AO}{AE}$，即可得出AE²=AO•AG，即2AF²=AC•AG；
（3）根據(jù)四邊形AFCE是菱形，得出AF=AE=8，在Rt△ABF中，利用勾股定理得AB²+BF²=AF²，AB²+BF²=8²，即可得出（AB+BF）²-2AB•BF=a²①，根據(jù)△ABF的面積為b，可求得AB•BF=2b②，再由①、②得：（AB+BF）²=a²+4b，得出AB+BF=$\frac{7}{5}$a，設(shè)DE=x，則CD=（$\frac{7}{5}$a-x），根據(jù)三角形面積公式可得DE，再根據(jù)余角的性質(zhì)和正切的定義即可求解．

解答 （1）證明：當(dāng)頂點(diǎn)A與C重合時(shí)，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE與△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠COF}\\{OA=OC}\\{∠EAO=∠FCO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴四邊形AFCE是菱形．  

（2）證明：∵EG⊥AD
∴∠AEG=90°，
∵∠AOE=90°，
∴∠AEG=∠AOE，
∵∠EAO=∠EAG，
∴△AOE∽△AEG，
∴$\frac{AE}{AG}$=$\frac{AO}{AE}$，
∴AE²=AO•AG，即2AF²=AC•AG；

（3）解：∵四邊形AFCE是菱形，
∴AF=AE=a，
在Rt△ABF中，AB²+BF²=AF²，
∴AB²+BF²=a²，
∴（AB+BF）²-2AB•BF=a²①，
∵△ABF的面積為b，
∴$\frac{1}{2}$AB•BF=b，
∴AB•BF=2b②，
由①、②得：（AB+BF）²=a²+4b，
∵AB+BF＞0，
∴AB+BF=$\sqrt{{a}^{2}+4b}$=$\frac{7}{5}$a，
設(shè)DE=x，則CD=（$\frac{7}{5}$a-x），則
$\frac{1}{2}$x（$\frac{7}{5}$a-x）=b=$\frac{6{a}^{2}}{25}$，
解得x₁=$\frac{3}{5}$a，x₂=$\frac{4}{5}$a（舍去），
∴CD=$\frac{4}{5}$a，
∵∠EAG+∠EGA=∠OEG+∠EGA=90°，
∴∠EAG=∠OEG，
∴tan∠OEG=tan∠EAG=$\frac{CD}{AD}$=$\frac{\frac{4}{5}a}{a+\frac{3}{5}a}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似形綜合題，涉及菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、矩形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)的知識(shí)點(diǎn)，綜合性極強(qiáng)，難度較大．