Question

如圖，直線y=kx+b與y軸的交點坐標為A（0，1），與x軸的標點坐標為B（-3，0），P，Q分別是射線BO和射線BA上的動點．
（1）求直線AB的解析式；
（2）是否存在點P，使得△ABP是以AB為腰的等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在點P，Q，使得△APQ是以點P為頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將A、B兩點的坐標代入y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；
（2）當△ABP是以AB為腰的等腰三角形時，分兩種情況進行討論：①如果AB=AP，由于點P在x軸上，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知P與B關(guān)于y軸對稱，則點P的坐標為（3，0）；②如果BP=BA，先由勾股定理求出BA=

32+12

=

10

，進而求出OP=BP+OB=

10

+3，則點P的坐標為（-3-

10

，0）；
（3）當△APQ是以點P為頂點的等腰直角三角形時，分兩種情況進行討論：①當點P在線段BO上時，如圖1．過點P作PC⊥AQ于C，設(shè)PC=a．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出AC=a．易證△BCP∽△BOA，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊的比相等得到

BC

3

=

a

1

=

BP

10

，于是BC=3a，BP=

10

a．由BC+AC=AB=

10

，列出方程3a+a=

10

，解方程求出a的值，進而得到點P的坐標；②當點P在x軸正半軸上時，如圖2．同①可求出點P的坐標．

解答：解：（1）∵直線y=kx+b經(jīng)過點A（0，1），B（-3，0），
∴

b=1 -3k+b=0

，解得

k= 1 3 b=1

，
∴直線AB的解析式為y=

1

3

x+1；

（2）當△ABP是以AB為腰的等腰三角形時，分兩種情況：
①如果AB=AP，
∵AO⊥BP，
∴OP=OB=3，
∴點P的坐標為（3，0）；
②如果BP=BA，
∵BA=

32+12

=

10

，
∴OP=BP+OB=

10

+3，
∴點P的坐標為（-3-

10

，0）；
綜上所述，存在點P，使得△ABP是以AB為腰的等腰三角形，此時點P的坐標為（3，0）或（-3-

10

，0）；

（3）當△APQ是以點P為頂點的等腰直角三角形時，分兩種情況：
①當點P在線段BO上時，如圖1．過點P作PC⊥AQ于C，設(shè)PC=a．
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AC=a．
在△BCP與△BOA中，

∠CBP=∠OBA ∠BCP=∠BOA

，
∴△BCP∽△BOA，
∴

BC

BO

=

CP

OA

=

BP

BA

，即

BC

3

=

a

1

=

BP

10

，
∴BC=3a，BP=

10

a．
∵BC+AC=AB=

10

，
∴3a+a=

10

，
∴a=

10

4

，
∴BP=

10

a=

10

×

10

4

=

5

2

，
∴OP=OB-BP=3-

5

2

=

1

2

，
∴點P的坐標為（-

1

2

，0）；
②當點P在x軸正半軸上時，如圖2．過點P作PC⊥AQ于C，設(shè)PC=a．
同①可得BC=3a，BP=

10

a．
∵BC-AC=AB=

10

，
∴3a-a=

10

，
∴a=

10

2

，
∴BP=

10

a=

10

×

10

2

=5，
∴OP=BP-OB=5-3=2，
∴點P的坐標為（2，0）；
綜上所述，存在點P，Q，使得△APQ是以點P為頂點的等腰直角三角形，此時點P的坐標為（-

1

2

，0）或（2，0）．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．利用分類討論、數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．