Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）和（5，0），以AB為直徑在x軸的上方作半圓O，點(diǎn)C是該半圓上第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AC、BC，并延長BC至點(diǎn)D，使BC=CD，過點(diǎn)D作x軸的垂線，分別交x軸、線段AC于點(diǎn)E、F，E為垂足，連結(jié)OF．
（1）當(dāng)∠CAB=30°時(shí)，求弧BC的長；
（2）當(dāng)AE=6時(shí)，求弦BC的長；
（3）在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在以點(diǎn)O、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△DEB相似？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）直接根據(jù)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出AB的長，連接OC，再根據(jù)∠CAB=30°求出∠BOC的度數(shù)，由弧長公式即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DBE，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)E（x，0），由（2）知

AB

BC

=

DB

BE

，2BC²=AB•BE，BD=2BC，再分△OEF∽△DEB與△FEO∽△DEB兩種情況討論即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）和（5，0），
∴AB=10．
連接OC，
∵∠CAB=30°，
∴∠BOC=60°，
∴

BC

=

60π×5

180

=

5π

3

；

（2）∵DE⊥AB，
∴∠DEB=∠AEF=90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AC=90°，
∴∠DEB=∠ACB=∠AEF．
∵∠AFE=∠CFD，
∴∠FAE=∠EDB，
∴△ABC∽△DBE，
∴

AB

BC

=

DB

BE

，
∵BC=CD，
∴

10

BC

=

2BC

10-6

，解得BC=2

5

；

（3）設(shè)E（x，0），
∵

AB

BC

=

DB

BE

，
∴2BC²=AB•BE，即BC=

-5x+25

，
∴BD=2BC=2

-5x+25

．
當(dāng)△OEF∽△DEB時(shí)，∠OFE=∠DBE，
∵∠AFE+∠EFC=180°，∠DBE+∠EFC=180°，
∴∠AFE=∠DBE，
∴∠OFE=∠AFE，
∵∠AFE＞∠OFE，
∴此種情況不成立；
當(dāng)△FEO∽△DEB時(shí)，∠OFE=∠BDE=∠FAE，
∴△FAE∽△OFE∽△BDE，則

AE

EF

=

EF

OE

，

OF

BD

=

OE

BE

，即

5+x

y

=

y

x

，
∴y²=x²+5x①，

x2+y2

2 -5x+25

=

x

5-x

②，
①②聯(lián)立得x=

5 17 -15

4

，
∵E在x軸上，
∴E（

5 17 -15

4

，0）．
當(dāng)E在原點(diǎn) 的左側(cè)時(shí)，EF垂直平分OA，此時(shí)E（-2.5，0）．
綜上可得：E（

5 17 -15

4

，0）或（-2.5，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的綜合題，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．