Question

19．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2cm的速度沿折線A-C-B-A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．
（1）若點(diǎn)P在AC上，且滿足PA=PB時(shí)，求出此時(shí)t的值；
（2）若點(diǎn)P恰好在∠BAC的角平分線上，求t的值；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA=PB，此時(shí)PA=PB=2t，PC=4-2t，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在∠CAB的平分線上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，此時(shí)BP=7-2t，PE=PC=2t-4，BE=5-4=1，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；
（3）在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得到AC=4cm，根據(jù)題意得：AP=2t，當(dāng)P在AC上時(shí)，△BCP為等腰三角形，得到PC=BC，即4-2t=3，求得t=$\frac{1}{2}$，當(dāng)P在AB上時(shí)，△BCP為等腰三角形，若CP=PB，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，如圖2，過P作PE⊥BC于E，求得t=$\frac{19}{4}$，若PB=BC，即2t-3-4=3，解得t=5，③PC=BC，如圖3，過C作CF⊥AB于F，由射影定理得；BC²=BF•AB，列方程3²=$\frac{2t-3-4}{2}$×5，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)存在點(diǎn)P，使得PA=PB，
此時(shí)PA=PB=2t，PC=4-2t，
在Rt△PCB中，PC²+CB²=PB²，
即：（4-2t）²+3²=（2t）²，
解得：t=$\frac{25}{16}$，
∴當(dāng)t=$\frac{25}{16}$時(shí)，PA=PB；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在∠BAC的平分線上時(shí)，如圖1，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，
此時(shí)BP=7-2t，PE=PC=2t-4，BE=5-4=1，
在Rt△BEP中，PE²+BE²=BP²，
即：（2t-4）²+1²=（7-2t）²，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
∴當(dāng)$t=\frac{8}{3}$時(shí)，P在△ABC的角平分線上；

（3）在Rt△ABC中，∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4cm，
根據(jù)題意得：AP=2t，
當(dāng)P在AC上時(shí)，△BCP為等腰三角形，
∴PC=BC，即4-2t=3，
∴t=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)P在AB上時(shí)，△BCP為等腰三角形，
①CP=PB，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，
如圖2，過P作PE⊥BC于E，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{3}{2}$，
∴PB=$\frac{1}{2}$AB，即2t-3-4=$\frac{5}{2}$，解得：t=$\frac{19}{4}$，
②PB=BC，即2t-3-4=3，
解得：t=5，
③PC=BC，如圖3，過C作CF⊥AB于F，
∴BF=$\frac{1}{2}$BP，
∵∠ACB=90°，
由射影定理得；BC²=BF•AB，
即3³=$\frac{2t-3-4}{2}$×5，
解得：t=$\frac{53}{10}$，
∴當(dāng)$t=\frac{1}{2}，5，\frac{53}{10}或\frac{19}{4}$時(shí)，△BCP為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定，三角形的面積，難度適中．利用分類討論的思想是解（3）題的關(guān)鍵．