Question

3．如圖，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對(duì)稱軸交拋物線于點(diǎn)D、交直線BC于點(diǎn)E，連接DB．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在對(duì)稱軸上求一點(diǎn)M，使以C、E、M為頂點(diǎn)的三角形與△BDE相似．
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PBE與△DBE的面積相等？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）把二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出DE、BE、CE，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例分兩種情況求出EM，然后求出點(diǎn)M到x軸的距離，最后寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)等底等高的三角形的面積相等分兩種情況求出點(diǎn)P所在的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可．

解答 解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c得，
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以，拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），
易求直線BC的解析式為y=-x+3，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，2），
∴DE=4-2=2，
BE=$\sqrt{（3-1）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
CE=$\sqrt{（3-2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
①若EM與DE是對(duì)應(yīng)邊，則△CME∽△BDE，
所以，$\frac{EM}{DE}$=$\frac{CE}{BE}$，
即$\frac{EM}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$，
解得EM=1，
所以，點(diǎn)M到x軸的距離為2-1=1，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，1），
②若EM與BE是對(duì)應(yīng)邊，則△MEC∽△BED，
所以，$\frac{EM}{BE}$=$\frac{CE}{DE}$，
即$\frac{EM}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得EM=2，
所以，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2-2=0，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），
綜上所述，存在點(diǎn)M（1，0）或（1，1），使以C、E、M為頂點(diǎn)的三角形與△BDE相似；

（3）∵D（1，4），E（1，2），
∴由等底等高的三角形的面積相等可知，要使△PBE與△DBE的面積相等，
過點(diǎn)P的直線與BC平行且經(jīng)過點(diǎn)（1，4）或（1，0），
易求過（1，4）且與直線BC平行的直線為y=-x+5，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$（為點(diǎn)D的坐標(biāo)，舍去），$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），
易求過點(diǎn)（1，0）與直線BC平行的直線為y=-x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{1}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{{y}_{2}=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），
綜上所述，拋物線上存在點(diǎn)P（2，3）或（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），使△PBE與△DBE的面積相等．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的性質(zhì)，三角形的面積，（2）要分情況討論是解題的難點(diǎn)，（3）考慮利用等底等高的三角形的面積相等確定出點(diǎn)P所在的直線是解題的關(guān)鍵．