Question

20．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，圖象過點(diǎn)（-1，0），對(duì)稱軸為直線x=2，下列結(jié)論：（1）c＞0；（2）4a+b=0；（3）9a+c＞3b；（4）8a+7b+2c＞0；（5）若點(diǎn)A（-3，y₁）、點(diǎn)B（-$\frac{1}{2}$，y₂）、點(diǎn)C（$\frac{7}{2}$，y₃）在該函數(shù)圖象上，則y₁＜y₃＜y₂；（6）若方程a（x+1）（x-5）=-3的兩根為x₁和x₂，且x₁＜x₂，則x₁＜-1＜5＜x₂．其中正確的結(jié)論有（　�。�

• A． 2個(gè)
• B． 3個(gè)
• C． 4個(gè)
• D． 5個(gè)

Answer 1

分析 拋物線交y軸于正半軸，c＞0，根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，則有4a+b=0；觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x=-3時(shí)，函數(shù)值小于0，則9a-3b+c＜0，即9a+c＜3b；由于x=-1時(shí)，y=0，則a-b+c=0，易得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根據(jù)拋物線開口向下得a＜0，于是有8a+7b+2c＞0；利用拋物線的對(duì)稱性得到（$\frac{1}{2}$，y₃），然后利用二次函數(shù)的增減性求解即可，作出直線y=-3，然后依據(jù)函數(shù)圖象進(jìn)行判斷即可．

解答 解：∵拋物線交y軸于正半軸，c＞0，故①正確．
∵x=-$\frac{2a}$=2，
∴4a+b=0，故②正確．
由函數(shù)圖象可知：當(dāng)x=-3時(shí)，y＜0，即9a-3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，故③錯(cuò)誤．
∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0），
∴a-b+c=0
又∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故④正確；
∵拋物線的對(duì)稱軸為x=2，C（$\frac{7}{2}$，y₃），
∴（$\frac{1}{2}$，y₃）．
∵-3＜-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$，在對(duì)稱軸的左側(cè)，
∴y隨x的增大而增大，
∴y₁＜y₂＜y₃，故⑤錯(cuò)誤．
方程a（x+1）（x-5）=0的兩根為x=-1或x=5，
過y=-3作x軸的平行線，直線y=-3與拋物線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的兩根，

依據(jù)函數(shù)圖象可知：x₁＜-1＜5＜x₂．故⑥正確，
故答案為：①②④⑥．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)結(jié)合是解題的關(guān)鍵．