Question

14．四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項(xiàng)，且AC平分∠DAB，求證：$\frac{BE}{DE}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$．

Answer 1

分析 先證明△ABC∽△ADC，得出面積比等于相似比的平方：$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$，再由三角形的面積關(guān)系求出$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BE}{DE}$，即可得出結(jié)論．

解答 證明：∵AC為AB、AD的比例中項(xiàng)，
∴AC²=AB•AD，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴△ABC∽△ADC，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$，
∵$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ADE}}$=$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△CDE}}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{{S}_{△ABE}+{S}_{△BCE}}{{S}_{△ADE}+{S}_{△CDE}}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△ADC}}$=$\frac{BE}{DE}$，
∴$\frac{BE}{DE}$=$\frac{B{C}^{2}}{C{D}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算、角平分線的定義；熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．