Question

9．如圖，點(diǎn)P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F．
（1）求證：PA=EF；
（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，求四邊形PFCE的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接PC，證四邊形PFCE是矩形，求出EF=PC，證△ABP≌△CBP，推出AP=PC即可；
（2）首先證△CBD是等腰直角三角形，求出BF、PF，即可求出四邊形PFCE的周長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接PC，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB，∠ABD=∠CBD=45°，∠C=90°，
在△ABP與△CBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABD=∠CBD}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴∠PFC=90°，∠PEC=90°．
又∵∠C=90°，
∴四邊形PFCE是矩形，
∴EF=PC，
∴PA=EF．
（2）解：由（1）知四邊形PFCE是矩形，
∴PE=CF，PF=CE，
又∵∠CBD=45°，∠PEB=90°，
∴BE=PE，
又∵BC=10，
∴矩形PFCE的周長(zhǎng)為2（PF+FC）=2（BE+EC）=2BC=20．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的連接和掌握，能證出AP=PC是解此題的關(guān)鍵．