Question

14．如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)，連BE，CE，BC邊上有一動點(diǎn)P，PM⊥EB，PN⊥EC．探究：
（1）當(dāng)矩形ABCD的長與寬滿足什么條件時(shí)，四邊形PMEN也是矩形？
（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到BC的中點(diǎn)時(shí)，PM與PN有何數(shù)量關(guān)系？

Answer 1

分析 （1）由SAS證明∴△ABE≌△DCE，得出∠AEB=∠DEC，由矩形的性質(zhì)得出∠BEC=90°，得出∠AEB=∠DEC=45°證出AE=DE=DC，即AD=2DC．
（2）由全等三角形的性質(zhì)得出EB=EC．證出M是BE的中點(diǎn)，N是CE的中點(diǎn)，得出EM=EN，證出四邊形PMEN是正方形，即可得出PM=PN．

解答 解：（1）當(dāng)矩形ABCD的長是寬的2倍時(shí)．四邊形PMEN為矩形；理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
又∵點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD的中點(diǎn)．
∴AE=DE，
在△ABE和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}&{\;}\\{∠A=∠D}&{\;}\\{AB=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠AEB=∠DEC，
∵四邊形PMEN為矩形，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEB=∠DEC=45°
∴AE=DE=DC，即AD=2DC．
∴當(dāng)矩形ABCD的長是寬的2倍時(shí)；四邊形PMEN為矩形；
（2）PM=PN，理由如下：
∵△AEB≌△DEC，
∴EB=EC．
∵四邊形PMEN為矩形，
∴PN∥EB，PM∥EC
又∵點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，
∴M是BE的中點(diǎn)，N是CE的中點(diǎn)，
∴EM=EN，
∴四邊形PMEN是正方形，
∴PM=PN．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．