Question

11．在平面直角坐標(biāo)系中，點B的坐標(biāo)為（2，0），過點B作AB⊥x軸，交反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象于點A，點P（0，m）是y軸正半軸上的一個動點，以PA、PB為邊作平行四邊形APBC．

（1）當(dāng)點C落在反比例函數(shù)的圖象上時，求k與m的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在點P運動過程中，平行四邊形APBC能夠成為一個內(nèi)角為60°的菱形？如果能，求出所有滿足條件的k、m的值，并判斷點C是否在反比例函數(shù)的圖象上；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行四邊形的性質(zhì)表示出A點坐標(biāo)，再利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出k與m的關(guān)系；
（2）可分∠APB=60°和∠PAC=60°兩種情況討論，然后運用菱形的性質(zhì)及勾股定理等知識就可解決問題．

解答 解：（1）∵AB⊥x軸，點B的坐標(biāo)為（2，0），點P（0，m）是y軸正半軸上的一個動點，以PA、PB為邊作平行四邊形APBC，
∴AH=BH=m，PH=HC=2，則A（2，2m），
故xy=k=4m；

（2）連接PC交AB于點H．
①若∠APB=60°，如圖1．

∵四邊形APBC是菱形，
∴PH=CH，BH=AH，AB⊥PC，PA=PB，
∴△PAB是等邊三角形，
∴PB=AB=2BH，
∴PH=$\sqrt{P{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$BH．
∵PH=OB=2，
∴$\sqrt{3}$BH=2，
∴BH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴m=OP=BH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，點A的坐標(biāo)為（2，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
∵點A在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴k=2×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
此時點C的坐標(biāo)為（4，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
∵4×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$=k，
∴點C在y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上．
②若∠PAC=60°，如圖2．

∵四邊形APBC是菱形，
∴PH=CH，BH=AH，AB⊥PC，PA=PB，
∴△PCB是等邊三角形，
∴PB=PC=2PH=4，
∴OP=2$\sqrt{3}$，則C點坐標(biāo)為；（4，2$\sqrt{3}$），
可得：k=8$\sqrt{3}$，m=2$\sqrt{3}$，
點C的坐標(biāo)為（4，2$\sqrt{3}$），在y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的圖象上．

點評 本題考查了反比例函數(shù)綜合、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想求出是解題關(guān)鍵．