Question

9．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，交BC于點(diǎn)E，已知∠CAE=15°，AB=2cm，求∠BOE的度數(shù)及矩形ABCD的面積．

Answer 1

分析 先證明OB=BE，△OAB是等邊三角形，得出OB=AB=2，∠ABO=60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BOE，再運(yùn)用勾股定理求出AD，矩形的面積=AB•AD．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=90°，OB=$\frac{1}{2}$BD，OA=$\frac{1}{2}$AC，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∴BE=AB=2，∠OAB=∠BAE+∠CAE=60°，
∴OB=BE，△OAB是等邊三角形，
∴OB=AB=2，∠ABO=60°，
∴∠OBE=30°，
∴∠BOE=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
∵BD=2OB=4，
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的面積=AB•AD=2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用；熟練掌握矩形和等邊三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．