Question

18．已知，已知函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+b的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，與函數(shù)y=2x的圖象交于點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，在x軸上有一點(diǎn)P（a，0）（a≠2），過點(diǎn)P作x軸的垂線，分別交函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+b和y=2x的圖象于點(diǎn)C、D．
（1）求OB的長；
（2）當(dāng)a=4時，連接BD、OC，試判斷四邊形BOCD的形狀，并說明理由；
（3）若CD=2OB，求a的值．

Answer 1

分析 （1）把M點(diǎn)坐標(biāo)代入y=2x可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入y=-$\frac{1}{2}$x+b可求得b的值，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得OB的值；
（2）可先求得C、D的坐標(biāo)，從而可求得CD的長，可判斷四邊形BOCD的形狀；
（3）用a可表示出CD的長，由條件可得到關(guān)于a的方程，可求得a的值．

解答 解：
（1）∵點(diǎn)M在函數(shù)y=2x的圖象上，且橫坐標(biāo)為2，
∴y=2×2=4，
∴M（2，4），
∵點(diǎn)M在函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+b上，
∴4=-$\frac{1}{2}$×2+b，解得b=5，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+5，
∴B（0，5），
∴OB=5；

（2）由題意可知P（4，0），
則C、D的橫坐標(biāo)為4，
在y=-$\frac{1}{2}$x+5中，令x=4可得y=-$\frac{1}{2}$×4+5=3，在y=2x中，令x=4可得y=8，
∴C（4，5），D（4，8），
∴CD=8-3=5=OB，且CD∥OB，
∴四邊形BOCD為平行四邊形；

（3）同（2）可求得C（a，-$\frac{1}{2}$a+5），D（a，2a），
∴CD=2a-（-$\frac{1}{2}$a+5）=$\frac{3}{2}$a-5，
當(dāng)CD=2OB時，則有$\frac{3}{2}$a-5=10，解得a=10．

點(diǎn)評 本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖象的交點(diǎn)、平行四邊形的判定、方程思想等知識．在（1）中求得b的值是解題的關(guān)鍵，在（2）中求得CD的長是解題的關(guān)鍵，在（3）中用a表示出CD的長是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中．