Question

3．如圖①，長方形的兩邊長分別為m+1，m+7；如圖②，長方形的兩邊長分別為m+2，m+4．（其中m為正整數(shù)）

（1）圖①中長方形的面積S₁=m²+8m+7
圖②中長方形的面積S₂=m²+6m+8
比較：S₁＞S₂（填“＜”、“=”或“＞”）
（2）現(xiàn)有一正方形，其周長與圖①中的長方形周長相等，則
①求正方形的邊長（用含m的代數(shù)式表示）；
②試說明：該正方形面積S與圖①中長方形面積S₁的差（即S-S₁）是定值．
（3）在（1）的條件下，若某個圖形的面積介于S₁、S₂之間（不包括S₁、S₂）并且面積為整數(shù)，這樣的整數(shù)值有且只有20個，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的面積公式計算即可；
（2）根據(jù)矩形和正方形的周長和面積公式即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)題意即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）圖①中長方形的面積S₁=（m+7）（m+1）=m²+8m+7，
圖②中長方形的面積S₂=（m+4）（m+2）=m²+6m+8，
比較：∵S₁-S₂=2m-1，m為正整數(shù)，m最小為1
∴2m-1≥1＞0，
∴S₁＞S₂；
故答案為：m²+8m+7，m²+6m+8，＞；
（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4；
②S-S₁=（m+4）²-（m²+8m+7）=9定值；
（3）由（1）得，S₁-S₂=2m-1，
∴當(dāng)20＜2m-1≤21時，
∴$\frac{21}{2}$＜m≤21，
∵m為正整數(shù)，
∴2m-1=21 
 m=11．

點評 本題考查了完全平方方公式的幾何背景，多項式的乘法法則，熟記多項式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．