Question

9．（一）結(jié)論猜想
如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點F是AC邊上一點（點F不與A、C重合），以CF為一邊在△ABC左側(cè)作正方形CFED，連接BF、AD，BF交AD于點O，直接寫出BF與AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：BF=AD，AD⊥BF．
（二）探究驗證
如圖2，將（一）中的正方形CFED繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，BF與AD、AC交于點O、H，（一）中的結(jié)論是否改變？并寫出理由；
（三）拓展延伸
如圖3，將（二）中的等腰Rt△ABC改為Rt△ABC，∠ACB=90°，$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，正方形CFED改為矩形CFED，CF=$\frac{3}{2}$，CD=2，BF與AD、AC交于點O、H，判斷BF與AD間的數(shù)量關(guān)系，并寫出理由．

Answer 1

分析 （一）根據(jù)正方形的得到CD=CF，∠ACD=∠ACB=90°，
根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（二）由四邊形CFED是正方形，得到CF=CD，∠DCF=90°，根據(jù)角的和差得到∠BCF=∠ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（三）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DCF=90°根據(jù)已知條件得到$\frac{CD}{CF}$=$\frac{4}{3}$，推出$\frac{CD}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（一）∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠ACD=∠ACB=90°，
在△ACD與△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF，
∴BF=AD，∠DAC=∠CBF，
∵∠CBF+∠CFB=∠DAC+∠AFO=90°，
∴AD⊥BF；
故答案為：BF=AD，AD⊥BF；

（二）結(jié)論不變，
理由：∵四邊形CFED是正方形，
∴CF=CD，∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，∠ACB+∠ACF=∠DCF+∠FCA，
即∠BCF=∠ACD，
在△ACD與△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCF}\\{CD=CF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCF，
∴BF=AD，∠DAC=∠FBC，
∵∠FBC+∠BHC=90°，∠BHC=∠AHO，
∴∠DAC+∠AHO=90°，
∴∠AOH=90°，
∴BF⊥AD；

（三）AD=$\frac{4}{3}$BF，
理由：∵四邊形CDEF是矩形，
∴∠DCF=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCF，
∵CF=$\frac{3}{2}$，CD=2，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{4}{3}$，
∵$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{CD}{CF}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴△ACD∽△BCF，
∴$\frac{AD}{BF}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．