Question

16．如圖，已知AD是三角形ABC的中線，BE⊥AD，CF⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)F．
（1）求證：BE=CF；
（2）若三角形ABD為等邊三角形，邊長為4，求AC的長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到BD=CD，即可證明△BDE≌△CDF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可解題；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠EDB=60°，由AD是三角形ABC的中線，得到BD=CD=AD=4，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD=∠ACD=∠EDB=30°，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AD是△ABC的中線，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠CFD=90°}\\{∠BDE=∠CDF}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE=CF；

（2）解：∵△ABD為等邊三角形，邊長為4，
∴∠EDB=60°，
∵AD是三角形ABC的中線，
∴BD=CD=AD=4，
∴∠CAD=∠ACD=∠DBE=30°，
在直角三角形BDE中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BD=2$\sqrt{3}$，
由（1）得BE=CF=2$\sqrt{3}$，
在直角三角形AFC中，AC=2CF=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△BDE≌△CDF是解題的關(guān)鍵．