Question

7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=$\frac{1}{4}$x²+bx的圖象與x軸交于點(diǎn)A（6，0），△OBC的B點(diǎn)坐標(biāo)（3，4），C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）．
（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）將△OBC沿邊BC翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)D，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)并判斷點(diǎn)D是否在二次函數(shù)的圖象上；
（3）在（2）的條件下，如圖2，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，8），有一動(dòng)點(diǎn)P從E點(diǎn)出發(fā)沿EO方向以2個(gè)單位/s的速度向下運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P的直線l平行于x軸，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），其中0≤t≤4．請(qǐng)?zhí)骄恐本�l上是否存在點(diǎn)H，使得△ODH為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍，不需說明理由；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx，求出b的值，即可求出二次函數(shù)的關(guān)系式．
（2）首先由B、C坐標(biāo)證得OB=OC，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可證得四邊形OBDC為菱形，進(jìn)而判斷出四邊形BMND是矩形，所以MN=BD=5，DN=BM=4，ON=OM+MN=3+5=8，據(jù)此求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可判斷出點(diǎn)D是否在二次函數(shù)的圖象上．
（3）首先求出當(dāng)l和BD重合時(shí)，l和x軸重合時(shí)，t的值各是多少；然后分類討論：①當(dāng)0≤t＜3-$\sqrt{5}$，t=2或t=4時(shí)；②當(dāng)t=3-$\sqrt{5}$時(shí)；③當(dāng)3-$\sqrt{5}$＜t＜2，或2＜t＜4時(shí)；根據(jù)△ODH為直角三角形，寫出所有滿足條件的點(diǎn)H的個(gè)數(shù)及相應(yīng)t的取值范圍即可．

解答 解：（1）將點(diǎn)A（6，0）代入y=$\frac{1}{4}$x²+bx，可得
0=$\frac{1}{4}{×6}^{2}$+6b，
解得b=-$\frac{3}{2}$，
∴二次函數(shù)的關(guān)系式是y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x．

（2）如圖1，過點(diǎn)B作BM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作DN⊥x軸于點(diǎn)N，
，
將△OBC沿邊BC翻折，點(diǎn)O落在點(diǎn)D，
∵△OBC的B點(diǎn)坐標(biāo)（3，4），C點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0），
∴OM=3，BM=4，OC=5，
∴OB=$\sqrt{{OM}^{2}{+BM}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
∴OB=OC，
∵將△OBC沿邊BC翻折得到△DBC，
∴△OBC≌△DBC，
∴OB=DB，OC=DC，
又∵OB=OC，
∴OB=DB=OC=DC，
∴四邊形OBDC是菱形，
∴BD∥x軸，
∵BM⊥x軸，DN⊥x軸，
∴BM∥DN，
∴四邊形BMND是平行四邊形，
∵∠BMN=90°，
∴四邊形BMND是矩形，
∴MN=BD=5，DN=BM=4，
∴ON=OM+MN=3+5=8，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（8，4），
∵當(dāng)x=8時(shí)，y=$\frac{1}{4}$×8²-$\frac{3}{2}$×8=4，
∴點(diǎn)D是否在二次函數(shù)的圖象上．

（3）由（2）可得四邊形OBDC是菱形，
∴BD∥x軸，
當(dāng)l和BD重合時(shí)，
∵8-2t=4，
∴t=2，點(diǎn)H的個(gè)數(shù)是2個(gè)；
當(dāng)l和x軸重合時(shí)，
∵8-2t=0，
∴t=4，點(diǎn)H的個(gè)數(shù)是2個(gè)；
①當(dāng)0≤t＜3-$\sqrt{5}$，t=2或t=4時(shí)，
點(diǎn)H的個(gè)數(shù)是2個(gè)．
②當(dāng)t=3-$\sqrt{5}$時(shí)，
點(diǎn)H的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
③當(dāng)3-$\sqrt{5}$＜t＜2，或2＜t＜4時(shí)，
點(diǎn)H的個(gè)數(shù)是4個(gè)．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力．
（2）此題還考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式問題的應(yīng)用，要熟練掌握．
（3）此題還考查了直角三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握．