Question

6．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知y軸上的點(diǎn)A（0，4），和第一象限內(nèi)的點(diǎn)B（m，n），△AB0的面積為8．

（1）求m的值；
（2）如圖2，OF、AE為△ABO的角平分線，OF、AE相交于點(diǎn)C，BC平分∠ABO，CH為△ACO的高．求證：∠ACH=∠BCF；
 （3）如圖3，OD為OB與x軸正半軸夾角的平分線，延長AC與OD相交于點(diǎn)D，當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動時，∠D-∠CBO的值是否不變？若是，求出該值；若不是，求出它的值的變化范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可以求得OA長，再由△AB0的面積為8可以求出m的值；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心以及三角形外角的性質(zhì)，可以得出∠ACH=∠BCF；
（3）由三角形內(nèi)角和定理和角平分線的性質(zhì)可以推導(dǎo)出∠D-∠CBO的值．

解答 解：（1）∵A（0，4）
∴OA=4．
∵點(diǎn)B（m，n）在第一象限內(nèi)，△AB0的面積為8，
∴$\frac{1}{2}$×4m=8
解得m=4；
（2）∵OF、AE為△ABO的角平分線，OF、AE相交于點(diǎn)C，
∴∠AOF=∠BOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠OAE=∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABC=∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABO．
∵CH為△ACO的高，
∴∠ACH=90°．
∵∠BCF為△COB外角，
∴∠BCF=∠BOF+∠OBC=$\frac{1}{2}$∠AOB+$\frac{1}{2}$∠ABO=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠ABO）=$\frac{1}{2}$（180°-∠OAB）
∵∠ACH=90°-∠OAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠OAB）
∴∠ACH=∠BCF；
（3）當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動時，∠D-∠CBO的值改變
證明：∵OD為OB與x軸正半軸夾角的平分線，
∴∠BOD=$\frac{1}{2}$（90°-∠AOB）．
在△AOD中
∠D=180°-∠AOD-∠AOD=180°-$\frac{1}{2}$∠OAB-∠AOB-$\frac{1}{2}$∠BOD
=135°-$\frac{1}{2}$（∠OAB+∠AOB）
=135°-$\frac{1}{2}$（180°-∠AOB）
=45°+$\frac{1}{2}$∠ABO．
∴∠D-∠CBO=45°．
∴當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動時，∠D-∠CBO的值不改變．

點(diǎn)評 本題主要考查的是平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征、角平分線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．