Question

如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（0，10），（8，4），點(diǎn)C在第一象限．動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D→A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)Q的5倍，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)x（單位長(zhǎng)度）關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象如圖②所示．
（1）請(qǐng)寫出點(diǎn)Q開始運(yùn)動(dòng)時(shí)的坐標(biāo)及點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△OPQ的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)P，Q保持原速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A→B→C→D→A勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP與PQ能否相等？若能，直接寫出所有符合條件的t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題,二次函數(shù)的最值,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）由圖②易求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及點(diǎn)Q的速度，就可得到點(diǎn)P的速度．
（2）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)可求出正方形的邊長(zhǎng)，易證△APM∽△ABF，從而得到AM=3t，PM=4t，從而有PN=OM=10-3t，ON=PM=4t，由于OQ=1+t，因此△OPQ的面積可用t的代數(shù)式表示，然后利用二次函數(shù)的最值性就可求出△OPQ的面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）由OP=PQ，PN⊥OQ得ON=NQ=

1

2

OQ，即x_P=

1

2

x_Q．然后分四種情況進(jìn)行討論（點(diǎn)P分別在AB、BC、CD、DA上），利用相似三角形的性質(zhì)將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)用t的代數(shù)式表示出來(lái)，然后根據(jù)x_P=

1

2

x_Q建立方程，就可求出t的值．

解答：解：（1）由圖②可知：
當(dāng)t=0時(shí)，x=1，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，0）；V_Q=

9-1

8

=1（單位長(zhǎng)度/秒）
∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度是點(diǎn)Q的5倍，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)速度為每秒鐘5個(gè)單位長(zhǎng)度．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BF⊥y軸于點(diǎn)F，BE⊥x軸于點(diǎn)E，如圖①，
則BF=8，OF=BE=4．
∴AF=10-4=6．
在Rt△AFB中，AB=

82+62

=10．
過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸于點(diǎn)M，PN⊥x軸于點(diǎn)N，如圖①，
∴PM∥BF．
∴△APM∽△ABF．
∴

AP

AB

=

AM

AF

=

MP

BF

．
∴

5t

10

=

AM

6

=

MP

8

．
∴AM=3t，PM=4t．
∴PN=OM=10-3t，ON=PM=4t．
設(shè)△OPQ的面積為S（平方單位），
則S=

1

2

(10-3t)(1+t)=-

3

2

t2+

7

2

t+5（0≤t≤2）．
∵a=-

3

2

＜0，
∴當(dāng)t=-

7 2

2×(- 3 2 )

=

7

6

時(shí)，△OPQ的面積S最大．
此時(shí)PM=4×

7

6

=

14

3

，OM=10-3×

7

6

=

13

2

，
則P的坐標(biāo)為（

14

3

，

13

2

）．

（3）∵OP=PQ，PN⊥OQ，
∴ON=NQ=

1

2

OQ．
∴x_P=

1

2

x_Q．
①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，此時(shí)0≤t≤2，如圖①，
4t=

1

2

（1+t）．
解得：t=

1

7

．
∵0≤

1

7

≤2，
∴t=

1

7

符合要求．
②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，此時(shí)2＜t≤4．
過(guò)點(diǎn)P作PK⊥BF交于K，如圖③，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°．
∴∠ABF=90°-∠PBK=∠BPK．
∵∠AFB=∠PKB=90°，
∴△AFB∽△BKP．
∴

AB

BP

=

AF

BK

．
∴

10

5t-10

=

6

BK

．
∴BK=3t-6．
∴x_P=8+3t-6=3t+2．
∴3t+2=

1

2

（1+t）．
解得：t=-

3

5

∵-

3

5

＜2，
∴t=-

3

5

不符合要求，故舍去．
③當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)，此時(shí)4＜t≤6．
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BF交于H，過(guò)點(diǎn)P作PS⊥CH交于點(diǎn)S，如圖④，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°．
∵∠AFB=∠BHC=90°，
∴∠ABF=90°-∠CBH=∠BCH．
在△AFB和△BHC中，

∠AFB=∠BHC ∠ABF=∠BCH AB=BC

．
∴△AFB≌△BHC．
∴BH=AF=6，CH=BF=8．
同理可得：PS=4t-16．（與②中求BK的方法相同）
∴x_P=8+6-（4t-16）=30-4t．
∴30-4t=

1

2

（1+t）．
解得：t=

59

9

．
∵

59

9

＞6，
∴t=

59

9

不符合要求，故舍去．
④當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，此時(shí)6＜t≤8．
過(guò)點(diǎn)P作PT⊥AF交于T，如圖⑤，
同理可得：PT=24-3t．（與②中求BK的方法相同）
∴x_P=24-3t．
∴24-3t=

1

2

（1+t）．
解得：t=

47

7

．
∵6≤

47

7

≤8，
∴t=

47

7

符合要求．
綜上所述：當(dāng)t=

1

7

或t=

47

7

時(shí)，OP與PQ相等．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值、勾股定理等知識(shí)，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．而分情況討論時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)因沒(méi)有考慮t的取值范圍而出現(xiàn)多解的錯(cuò)誤，需給予重視．