Question

如圖，BC為⊙O的直徑，A為⊙O上的點，以BC、AB為邊作?ABCD，⊙O交AD于點E，連結(jié)BE，點P為過點B的⊙O的切線上一點，連結(jié)PE，且滿足∠PEA=∠ABE．
（1）求證：PB=PE；
（2）若sin∠P=

3

5

，求

DE

DC

的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)求得∠ABP=∠AEB，根據(jù)已知條件即可求得∠PBE=∠PEB，根據(jù)等角對等邊即可證明結(jié)論；
（2）連接EC，延長DA交PB于F，根據(jù)平行弦的性質(zhì)得出

AB

=

CE

，進(jìn)而求得AB=CE=CD，得出三角形CED是等腰三角形，在等腰三角形PBE中根據(jù)勾股定理求得BE的長，進(jìn)而求得

BE

PE

=

10

5

，由于∠AEB=∠EBC，∠ABP=∠AEB，得出∠ABP=∠EBC，從而得出∠PBE=∠ABC=∠D，求得△CDE∽△PBE，得出

DE

DC

=

BE

PE

=

10

5

；

解答：解：（1）證明：∵PB是⊙O的切線，
∴∠ABP=∠AEB，
∵∠PEA=∠ABE．
∴∠PBE=∠PEB，
∴PB=PE；

（2）連接EC，延長DA交PB于F，
∵PB是⊙O的切線，
∴BC⊥PB，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴EF⊥PB，
∵sin∠P=

3

5

，
設(shè)PE=5a，EF=3a，則PF=4a，
∵PB=PE=5a，
∴BF=a，
∴BE=

BF2+EF2

=

10

a，
∴

BE

PE

=

10

5

，
∵AD∥BC，
∴

AB

=

CE

，
∴AB=CE，
∵AB=CD，
∴CE=CD，
∴∠D=∠CED，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABP=∠AEB，
∴∠ABP=∠EBC，
∴∠PBE=∠ABC，
∴∠PBE=∠D，
∵∠PBE=∠PEB，
∴△CDE∽△PBE，
∴

DE

DC

=

BE

PE

=

10

5

；

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線的性質(zhì)，平行弦的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，本題的關(guān)鍵是求得三角形相似；