Question

已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在弧AB上（不含點(diǎn)A、B），把△AOP沿OP對(duì)折，

點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在⊙O上．

（1）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時(shí)（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系，并證明你的判斷；

（2）當(dāng)P、C都在AB上方時(shí)（如圖2），過(guò)C點(diǎn)作CD⊥直線AP于D，且PC=2PD，證明：CD是⊙O的切線．

            

                              圖1                   圖2

Answer 1

解：（1）結(jié)論P(yáng)O∥BC成立，理由為.

           由折疊可知：△APO≌△CPO，

           ∴∠APO=∠CPO，

又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO.

又∠A與∠PCB都是所對(duì)的圓周角，

∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，   ∴PO∥BC；

（2）在Rt△PCD中，，

因?yàn)椤鰽OP沿OP對(duì)折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C恰好落在⊙O上，所以為等邊三角形，,DC經(jīng)過(guò)半徑OC的外端C，所以DC為圓O的切線.

(或者（1）結(jié)論P(yáng)O∥BC成立，理由為.

           由折疊可知：△APO≌△CPO，

           ∴∠APO=∠CPO，

又OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO.

又∠A與∠PCB都是所對(duì)的圓周角，

∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，   ∴PO∥BC；

（2）在Rt△PCD中，，∴∠DCP=30°, ∠DPC=60°.

又∠APO=∠CPO，且∠APO＋∠CPO＋∠DPC=180°，

∴∠APO=∠CPO=60°.

又OA=OP=OC，∴△OAP和△OCP均為等邊三角形.

∴∠OCP=60°.又∠DCP=30°，

∴∠OCD=90°，即OC⊥CD.

∴CD是⊙O的切線．）