Question

18．如圖，已知AE是△ABC的中線，AB=8cm，AC=6cm，∠CAB=90°．
（1）求△ABE的面積；
（2）求△ABE和△ACE的周長之差；
（3）若BC=10cm，求BC邊上的高AD的長度．

Answer 1

分析 （1）由△AEC與△ABE是等底同高的兩個三角形，它們的面積相等；
（2）由于AE是中線，那么BE=CE，于是△ACE的周長-△ABE的周長=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化簡可得△ACE的周長-△ABE的周長=AC-AB，易求其值（3）利用“面積法”來求線段AD的長度．

解答 解：（1）如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=8cm，AC=86m，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×6×8=24（cm²）．
又∵AE是邊BC的中線，
∴BE=EC，
∴$\frac{1}{2}$BE•AD=$\frac{1}{2}$EC•AD，即S_△ABE=S_△AEC，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC=12（cm²）．
∴△ABE的面積是12cm²；

（2）∵AE為BC邊上的中線，
∴BE=CE，
∴△ABE的周長-△ACE的周長=AB+AE+BE-（AC+CE+AE）=AB-AC=8-6=2（cm），
即△ACE和△ABE的周長的差是2cm；

（3）∵∠BAC=90°，AD是邊BC上的高，
∴$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$BC•AD，
∴AD=$\frac{AB•AC}{BC}$=$\frac{6×8}{10}$=4.8（cm），即AD的長度為4.8cm；

點評 本題考查了中線的定義、三角形周長的計算．解題的關鍵是利用三角形面積的兩個表達式相等，求出AD．