Question

1．如圖，BD是⊙O的直徑，E是⊙O上的一點(diǎn)，直線AE交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A，BC⊥AE于C，且∠CBE=∠DBE
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，AE=4$\sqrt{2}$．求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OE，則OB=OE，即可得出∠OBE=∠OEB，再由已知得出∠OEB=∠CBE，則OE∥BC，從而證出OE⊥AC；
（2）通過(guò)相似三角形△ADE∽△AEB的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求DE的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）連接OE．
∴OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵∠CBE=∠DBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∵BC⊥AE，
∴OE⊥AC，
∴AC是⊙O的切線；

（2）由（1）知，OE⊥AC．
在直角△AEO中，AE=4$\sqrt{2}$，OE=2，AO=AD+2，則由勾股定理得到：AE²+OE²=AO²，即32+4=（AD+2）²，
解得 AD=4（舍去負(fù)值）．
則AB=AD+4=10，AO=AD+2=8．
∵OE∥BC，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AE}{AC}$，即$\frac{8}{10}$=$\frac{2}{BC}$=$\frac{4\sqrt{2}}{4\sqrt{2}+EC}$，則BC=$\frac{5}{2}$，EC=$\sqrt{2}$．
∴在直角△BCE中，由勾股定理得到：BE=$\sqrt{E{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2+\frac{25}{4}}$=$\frac{\sqrt{33}}{2}$．
又∵∠A=∠A，∠AED=∠ABE，
∴△ADE∽△AEB，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{4\sqrt{2}}{10}$=$\frac{DE}{\frac{\sqrt{33}}{2}}$，
解得 DE=$\frac{\sqrt{66}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)和判定，勾股定理以及圓周角定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．