Question

6．如圖所示，已知在△ABC中，A（0，0），B（$\sqrt{3}$，0），C（0，1），在△ABC內(nèi)依次作等邊三角形，作出的等邊三角形分別是第1個(gè)△AA₁B₁，第2個(gè)△B₁A₂B₂，第3個(gè)△B₂A₃B₃，…，使B₁、B₂、B₃、…在x軸上，A₁、A₂、A₃、…在BC邊上，則第n個(gè)等邊三角形的邊長等于（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n}}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{{2}^{n-1}}$
• C． $\frac{3}{{2}^{n}}$
• D． $\frac{3}{{2}^{n-1}}$

Answer 1

分析 根據(jù)題目已知條件可推出，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，依此類推，可求得第n個(gè)等邊三角形的邊長．

解答 解：∵OB=$\sqrt{3}$，OC=1，
∴BC=2，
∴∠OBC=30°，∠OCB=60°．
∵△AA₁B₁為等邊三角形，∠A₁AB₁=60°，
∴∠COA₁=30°，
∴∠CA₁O=90°．
在Rt△CAA₁中，AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
同理得：B₁A₂=$\frac{1}{2}$A₁B₁=$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，
依此類推，第n個(gè)等邊三角形的邊長等于$\frac{\sqrt{3}}{{2}^{2}}$，
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)邊長的規(guī)律．