Question

3．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E、F分別在AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于點O，下列結論：①∠DOC=90°，②OC=OE，③CE=DF，④tan∠OCD=$\frac{4}{3}$，⑤S_△DOC=S_{四邊形EOFB}中，正確的有（　　）

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 由正方形ABCD的邊長為4，AE=BF=1，利用SAS易證得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的對應角相等，易證得①∠DOC=90°正確，③CE=DF正確；②由線段垂直平分線的性質與正方形的性質，可得②錯誤；易證得∠OCD=∠DFC，即可求得④正確；由①易證得⑤正確．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長為4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4-1=3，
在△EBC和△FCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠B=∠DCF}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，CE=DF，故③正確，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°；故①正確；
連接DE，如圖所示：
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），故②錯誤；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{4}{3}$，故④正確；
∵△EBC≌△FCD，
∴S_△EBC=S_△FCD，
∴S_△EBC-S_△FOC=S_△FCD-S_△FOC，
即S_△ODC=S_{四邊形BEOF}．故⑤正確；
故正確的有：①③④⑤，
故選D．

點評 此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質以及三角函數(shù)等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與轉化思想的應用．