Question

7．如圖，正比例函數(shù)y=$\frac{1}{2}x$與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}（k＞0）$的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作AC⊥x軸，垂足為C，過B點(diǎn)作BD⊥x軸，垂足為D，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2．
（1）求k的值；
（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（3）P、Q兩點(diǎn)是坐標(biāo)軸上的動點(diǎn)（P為正半軸上的點(diǎn)，Q為負(fù)半軸上的點(diǎn)），當(dāng)以A、B、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形時，求P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式可得點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求得k的值；
（2）易得四邊形ABCD的對角線互相平分，那么是平行四邊形；
（3）若以AB為邊得到的矩形，P，Q兩點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上；以AB為對角線得到的矩形，可以AB為直徑畫一個圓，看圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，由y=$\frac{1}{2}$x得y=1，
∴A（2，1），
∴k=2；

（2）∵A、O、B在一條直線上，A，B在反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的交點(diǎn)處，
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)O中心對稱，
∴AO=OB，OC=OD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（3）∵以AB為邊的四邊形是矩形時，點(diǎn)P、Q分別在x軸和y軸上時，此時不可能；
∴只能以AB為矩形的對角線，此時P、Q分別在x軸的正、負(fù)半軸上或者在y軸的正、負(fù)半軸上．
∵OA=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴以O(shè)為圓心，$\sqrt{5}$為半徑畫圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P（$\sqrt{5}$，0），Q（-$\sqrt{5}$，0）或者P（0，$\sqrt{5}$），Q（0，-$\sqrt{5}$）．

點(diǎn)評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，用到的知識點(diǎn)為：點(diǎn)在函數(shù)解析式上，就適合這個函數(shù)解析式；正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱；直徑所對的圓周角是90°等知識．