Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，AD與過點(diǎn)C的切線垂直，垂足為點(diǎn)D，直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，弦CE平分∠ACB，交AB于點(diǎn)F，連接BE．
（1）求證：△PCF是等腰三角形；
（2）若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，BE=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，求線段PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，則∠ACF=∠BCF=45°，再根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PCB+∠OCB=90°，加上∠OCB=∠OBC，∠OBC+∠BAC=90°，則∠PCB=∠BAC，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證明∠PCF=∠PFC，
于是利用等腰三角形的判定定理可得△PCF是等腰三角形；
（2）連結(jié)AE，如圖，先證明△ABE為等腰直角三角形得到AB=$\sqrt{2}$BE=7，再在Rt△ACB中，利用正切定義得tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，則可設(shè)AC=4x，BC=3x，所以AB=5x=7，解得x=$\frac{7}{5}$，即AC=$\frac{28}{5}$，BC=$\frac{21}{5}$，接著證明Rt△DAC∽R(shí)t△CAB，利用相似比可計(jì)算出AD=$\frac{112}{25}$，DC=$\frac{84}{25}$，然后利用OP∥AD得到△POC∽△PAD，則可利用相似比計(jì)算出PC的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵弦CE平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF=45°，
∵PC為⊙O的切線，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，即∠PCB+∠OCB=90°，
而OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
而∠OBC+∠BAC=90°，
∴∠PCB=∠BAC，
∵∠PCF=∠PCB+∠BCF=∠PCB+45°，∠PFC=∠FAC+∠ACF=∠BAC+45°，
∴∠PCF=∠PFC，
∴△PCF是等腰三角形；
（2）解：連結(jié)AE，如圖，
∵∠ABE=∠ACE=45°，∠BAE=∠BCE=45°，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$×$\frac{7\sqrt{2}}{2}$=7，
在Rt△ACB中，tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
設(shè)AC=4x，BC=3x，則AB=5x，
∴5x=7，解得x=$\frac{7}{5}$，
∴AC=$\frac{28}{5}$，BC=$\frac{21}{5}$，
∵AD⊥CD，OC⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
而∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴Rt△DAC∽R(shí)t△CAB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{\frac{28}{5}}$=$\frac{DC}{\frac{21}{5}}$=$\frac{\frac{28}{5}}{7}$，
∴AD=$\frac{112}{25}$，DC=$\frac{84}{25}$，
∵OP∥AD，
∴△POC∽△PAD，
∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{OC}{AD}$，即$\frac{PC}{PC+\frac{84}{25}}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{112}{25}}$，
∴PC=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．