Question

9．如圖①所示，已知兩個(gè)邊長(zhǎng)均為a的全等的正方形ABCD與A₁B₁C₁D₁，正方形ABCD的點(diǎn)C與正方形A₁B₁C₁D₁的中心重合，且繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)正方形ABCD由圖①旋轉(zhuǎn)至圖②時(shí)，兩個(gè)陰影部分的面積是否相等？如果相等，直接回答出都等于什么；
（2）當(dāng)正方形ABCD旋轉(zhuǎn)至任意位置時(shí)，如圖③，重疊部分的面積會(huì)變化嗎？說明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）分別計(jì)算圖①、圖②陰影部分的面積，得出結(jié)論；
（2）連接CD₁與CC₁，通過三角形全等，說明圖形旋轉(zhuǎn)其陰影面積不變．

解答 解：（1）如圖①所示，由于點(diǎn)C與正方形A₁B₁C₁D₁的中心重合，
所以陰影正方形的面積=$\frac{1}{4}$S_{正方形A1B1C1D1}=$\frac{1}{4}$a²；
圖①
如圖②所示，過點(diǎn)C做CE⊥C₁D₁，垂足為E．
由題意易知△D₁CC₁為等腰直角三角形
∴CE=$\frac{1}{2}$a，C₁D₁=a，
∴S_△CC1D1=$\frac{1}{2}$×C₁D₁×CE=$\frac{1}{4}$a²，
∴當(dāng)正方形ABCD由圖①旋轉(zhuǎn)至圖②時(shí)，兩個(gè)陰影部分的面積相等，都等于$\frac{1}{4}{a}^{2}$．
 圖②
（2）陰影面積保持不變．理由如下：
如圖，連接CD₁、CC₁，
∵正方形ABCD與正方形A₁B₁C₁D₁的邊長(zhǎng)相等，
∴CD₁=CC₁，∠CD₁E=∠CC₁F=45°，∠ECD=∠D₁CC₁=90°，
∴∠BCD₁+∠D₁CD=∠D₁CD+∠C₁CD=90°，
∴∠BCD₁=∠DCC₁．
在△ECD₁和△FCC₁中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BC{D}_{1}=∠FC{C}_{1}}\\{C{D}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠C{D}_{1}E=∠C{C}_{1}F}\end{array}\right.$

∴△ECD₁≌△FCC₁
∵C是正方形ABCD的中心，
∴S_陰影=S_△D1CC1=$\frac{1}{4}$S_{正方形A1B1C1D1}=$\frac{1}{4}\\;{a}^{2}$a²．
圖③
所以陰影面積保持不變．

點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)評(píng)：本題是與正方形中心相關(guān)，通過面積計(jì)算進(jìn)行比較和說明的題目．其陰影部分面積不隨圖形的旋轉(zhuǎn)而變化，運(yùn)用的是割補(bǔ)的辦法，通過三角形全等來說明．