Question

1．已知x₁和x₂是方程（k² -1）x²-6（3k-1）x+72=0的兩個正根，且（x₁-1）（x₂-1）=4，求k的值．

Answer 1

分析 根據根與系數的關系得到x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$，x₁x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$，則（x₁-1）（x₂-1）=4得到x₁x₂-（x₁+x₂）+1=4，即$\frac{72}{{k}^{2}-1}$-$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$+1=4，解得k₁=-9，k₂=3，然后利用x₁和x₂是兩個正根可判斷k=3．

解答 解：根據題意得x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$，x₁x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$，
∵（x₁-1）（x₂-1）=4，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1=4，
∴$\frac{72}{{k}^{2}-1}$-$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$+1=4，
整理得k²+6k-27=0，解得k₁=-9，k₂=3，
經檢驗k₁=-9，k₂=3是分式方程的解，
∵x₁和x₂是兩個正根，
∴x₁+x₂=$\frac{6（3k-1）}{{k}^{2}-1}$＞0，x₁x₂=$\frac{72}{{k}^{2}-1}$＞0，
∴k的值為3．

點評 本題考查了根與系數的關系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．也考查了解分式方程．