Question

17．已知如圖，E、F為?ABCD的對角線AC所在直線上的兩點，AE=CF，求證：BE=DF．（用兩種方法證明）

Answer 1

分析 ①由平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，∠BAC=∠DCA，由SAS證明△ABE≌△CDF，得出對應邊相等即可；
②連接DE、BF，連接BD交AC于O，由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=OC，OB=OD，證出OE=OF，得出四邊形BFDE是平行四邊形，即可得出結論．

解答 證明：方法①：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DC，AB=DC．
∴∠BAC=∠DCA．
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CF}&{\;}\\{∠BAE=∠DCF}&{\;}\\{AB=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE=DF．
方法②：連接DE、BF，連接BD交AC于O，
如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四邊形BFDE是平行四邊形，
∴BE=DF．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等和平行四邊形是解決問題的關鍵．