Question

9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），∠OAB=90°，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0），P為斜邊OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAC的周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 如圖作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接AF與直線(xiàn)OB的交點(diǎn)為點(diǎn)P，此時(shí)△PCA周長(zhǎng)最小，作FQ⊥y軸垂足為Q，先求出點(diǎn)F坐標(biāo)，求出線(xiàn)段AF的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．

解答 解：如圖作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F，連接AF與直線(xiàn)OB的交點(diǎn)為點(diǎn)P，此時(shí)△PCA周長(zhǎng)最�。�作FQ⊥y軸垂足為Q．
∵AB=$\sqrt{3}$，OA=3，∠OAB=90°，
∴tan∠AOB=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°，
∴∠FOC=2∠AOB=60°，∠FOQ=30°，
在RT△FOQ中，∵∠FQO=90°，OF=OC=$\frac{1}{2}$，
∴QF=$\frac{1}{2}$OF=$\frac{1}{4}$，OQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$QF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{8}$）．
∴AF=$\sqrt{（3-\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{31}}{2}$，
∴△PCA周長(zhǎng)=PC+PA+AC=PF+PA+AC=AF+AC=$\frac{\sqrt{31}}{2}$+$\frac{11}{4}$．
∴△PAC的周長(zhǎng)的最小值為$\frac{\sqrt{31}}{2}$+$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱(chēng)-最短問(wèn)題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形30度角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱(chēng)正確找到點(diǎn)P的位置，屬于中考常考題型．