Question

4．如圖：函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)B，C，交y軸于點(diǎn)A．
①試根據(jù)函數(shù)圖象在平面直角坐標(biāo)系中的位置特點(diǎn)確定a，b，c的符號．
②若點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，-6），∠ABC=45°，∠ACB=60°，求函數(shù)的表達(dá)式．

Answer 1

分析 ①由于拋物線過點(diǎn)B，C，點(diǎn)A，則拋物線開口向上，對稱軸在y軸的左側(cè)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷a、b、c的符號；
②通過解直角三角形求出OB=6，OC=2$\sqrt{3}$，則得到B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)交點(diǎn)式求拋物線的解析式．

解答 解：①a＞0，b＞0，c＜0；
②∵點(diǎn)A的坐標(biāo)（0，-6），
∴OA=6，
在Rt△AOB中，∵∠ABC=45°，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴OB=OA=6，
∴B（-6，0），
在Rt△AOC中，∵∠ACO=60°，
∴OC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OA=2$\sqrt{3}$，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+6）（x-2$\sqrt{3}$），
把A（0，-6）代入得a•6•（-2$\sqrt{3}$）=-6，解得a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（x+6）（x-2$\sqrt{3}$），即y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²+（$\sqrt{3}$-1）x-6．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：從二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x₁，0），（x₂，0）．解決本題的關(guān)鍵是求出B、C點(diǎn)的坐標(biāo)．