Question

12．如圖，四邊形ABCD，CDMF，MFEG都是正方形，BD，AE相交于點(diǎn)H，求tan∠AHB．

Answer 1

分析 設(shè)正方形的邊長為1，由勾股定理求得BD=$\sqrt{2}$，證△ADH∽△EBH得$\frac{DH}{BH}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{3}$，即可知BH=$\frac{3}{4}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，作AN⊥BD，有AN=BN=ABcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、NH=BH-BN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，最后由正切函數(shù)定義可得．

解答 解：設(shè)正方形的邊長為1，
則BD=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵AD∥BE，
∴△ADH∽△EBH，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{1}{3}$，
∴BH=$\frac{3}{4}$BD=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
過點(diǎn)A作AN⊥BD于點(diǎn)N，

則AN=BN=ABcos45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴NH=BH-BN=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴tan∠AHB=$\frac{AN}{NH}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}$=2．

點(diǎn)評 本題主要考查解直角三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義得出求正切值所需線段的長．