Question

在△ABC中，∠C=30°，∠ABC=90°，點D、E分別為邊AB、AC上的點，BD=CE，點F為AC中點，連接DF，點G為FD中點，連接AG，BE．

（1）求證：2AG=BE；
（2）延長AG交BE于M，過F作FN∥BE交AM于N，若GN=1，EM=2，求BM的長度．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),含30度角的直角三角形

專題：計算題

分析：（1）首先可判斷四邊形ADHF是平行四邊形，再由直角三角形30°角所對的邊等于斜邊一半可得，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；
（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得△EFM≌△HFN，利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．

解答： （1）證明：延長AG至H，使GH=AG，連接DH，F(xiàn)H，
∵GD=GF，
四邊形ADHF是平行四邊形，
∴FH=AD，AF=DH．
連接BF，
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AF=CF，
∴BF=AF=CF=AB，∠BAF=∠ABF=∠AFB=60°，
∵BD=CE，
∴AD=EF=FH，
∴∠HDA=∠BFE=120°，
∵DH=AF，
∴DH=BF，
在△ADH和△BFE中，

AD=EF ∠HDA=∠BFE DH=BF

，
∴△ADH≌△BFE（SAS），
∴AH=BE=2AG；
（2）解：由（1）可知∠EFH=∠BAC=60°，∠AFH=60°=∠AFB，∠HAD=∠AHF=∠BEF，
∵FN∥BE，∠AFN=∠AEM，
∵∠HAD+∠HAE=∠BAC=∠AEB+∠HAE=∠AFN+∠HAE=60°，
∵∠EBF=∠AHD=∠HAF，
∴A、B、M、F四點共圓，∠AMF=∠ABF=60°，△FMN是等邊△，
∴∠EFH+∠MFH=∠MFN+∠MFH，∠EFM=∠HFN，
∴△EFM≌△HFN（AAS），
∴ME=NH=2，
∴AH=BE=2AG=2GH=2（GN+ME）=2（1+2）=6，
∴BM=BE-EM=6-2=4．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．