Question

18．如圖①，∠QPN的頂點(diǎn)P在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，∠QPN=α，∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C、D不重合）．

（1）如圖①，當(dāng)α=90°時(shí)，求證：DE+DF=AD．
（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當(dāng)α=60°時(shí)，（1）中的結(jié)論變?yōu)?DE+DF=\frac{1}{2}AD$，請(qǐng)給出證明．
（3）在（2）的條件下，將∠QPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中∠QPN的邊PQ與邊AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，其他條件不變，探究在整個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不用加以證明．

Answer 1

分析 （1）利用正方形的性質(zhì)得出角與線段的關(guān)系，易證得△APE≌△DPF，可得出AE=DF，即可得出結(jié)論DE+DF=AD，
（2）取AD的中點(diǎn)M，連接PM，利用菱形的性質(zhì)，可得出△MDP是等邊三角形，易證△MPE≌△FPD，得出ME=DF，由DE+ME=$\frac{1}{2}$AD，即可得出DE+DF=$\frac{1}{2}$AD，
（3）①當(dāng)點(diǎn)E落在AD上時(shí)，DE+DF=$\frac{1}{2}$AD，②當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，DF-DE=$\frac{1}{2}$AD．

解答 解：（1）正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)P，
∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，
∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，
∴∠APE=∠DPF，
在△APE和△DPF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠DPE}\\{PA=PD}\\{∠PAE=∠PDE}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△DPF（ASA），
∴AE=DF，
∴DE+DF=AD；

（2）如圖②，取AD的中點(diǎn)M，連接PM，

∵四邊形ABCD為∠ADC=120°的菱形，
∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，
∴△MDP是等邊三角形，
∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，
∵∠PAM=30°，
∴∠MPD=60°，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠PDF}\\{PM=PD}\\{∠MPE=∠EPD}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△DPF（ASA）
∴ME=DF，
∴DE+DF=$\frac{1}{2}$AD；

（3）如圖，

如圖③，當(dāng)點(diǎn)E落在AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，
取AD的中點(diǎn)M，連接PM，
∵四邊形ABCD為菱形，∠ADC=120°，
∴AD=CD，∠DAP=30°，AC⊥BD，
∴∠ADP=∠CDP=60°，
∵AM=MD，
∴PM=MD，
∴△MDP是等邊三角形，
∴∠PME=∠MPD=60°，PM=PD，
∵∠QPN=60°，
∴∠MPE=∠FPD，
在△MPE和△DPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PME=∠PDF}\\{PM=PD}\\{∠MPE=∠FPD}\end{array}\right.$，
∴△MPE≌△DPF（ASA）．
∴ME=DF，
∴DF-DE=ME-DE=DM=$\frac{1}{2}$AD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了四邊形的綜合題，涉及全等三角形，正方形及菱形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)計(jì)三角形全等，巧妙地借助兩個(gè)三角形全等，尋找所求線段與線段之間的等量關(guān)系．