Question

6．已知二次函數(shù)y=x²+bx+c，其圖象交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為頂點(diǎn)．
（1）求此二次函數(shù)關(guān)系式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接BC、BD，M、N分別為BC、BD的中點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，0），B（3，0）分別代入拋物線y=x²+bx+c，求出b和c的，進(jìn)而可求出二次函數(shù)關(guān)系式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）連接CD，由已知條件可知MN是△BDC的中位線，利用中位線定理即可求出MN的長(zhǎng)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，0），B（3，0）分別代入拋物線y=x²+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{0=1+b+c}\\{0=9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴y=x²-4x+3，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-1）；
（2）∵M(jìn)、N分別為BC、BD的中點(diǎn)，
∴MN是△BDC的中位線，
∴MN=$\frac{1}{2}$CD，
∵C（0，3），D（2，-1），
∴DC=$\sqrt{（2-0）^{2}+（-1-3）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴MN=$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)圖象和x軸交點(diǎn)的問(wèn)題以及利用待定系數(shù)法求拋物線解析式、勾股定理的運(yùn)用、三角形中位線定理的運(yùn)用，題目難度不大，但涉及的計(jì)算較多，需要仔細(xì)認(rèn)真，避免出錯(cuò)．