Question

10．平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)A（1，1），對(duì)點(diǎn)A進(jìn)行如下操作：
第一步，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A₁，延長(zhǎng)線段AA₁到點(diǎn)A₂，使得2A₁A₂=AA₁；
第二步，作點(diǎn)A₂關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A₃，延長(zhǎng)線段A₂A₃到點(diǎn)A₄，使得2A₃A₄=A₂A₃；
第三步，作點(diǎn)A₄關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A₅，延長(zhǎng)線段A₄A₅到點(diǎn)A₆，使得2A₅A₆=A₄A₅；
…
則點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（1，-2），點(diǎn)A₂₀₁₅的坐標(biāo)為（2⁵⁰³，2⁵⁰⁴）．
若點(diǎn)A_n的坐標(biāo)恰好為（4^m，4ⁿ）（m、n均為正整數(shù)），請(qǐng)寫出m和n的關(guān)系式m=n．

Answer 1

分析 根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可得A₁，根據(jù)2A₁A₂=AA₁，可得A₁是AA₂的中點(diǎn)，可得答案；
根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，可得A₃，根據(jù)計(jì)算，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：每8次變換一循環(huán)：第m循環(huán)組：（2^2m-2，-2^2m-2）（2^2m-2，-2^2m-1），（-2^2m-2，-2^2m-1）（-2^2m-1，-2^2m-1）（-2^2m-1，2^2m-1）（-2^2m-1，2^2m）倒數(shù)第二個(gè)是（2^2m-1，2^2m），最后一個(gè)是（2^2m，2^2m）．

解答 解：由題意得，A₁（1，-1），A₂（1，-2），
A₃（-1，-2），A₄（-2，-2），
A₅（-2，2），A₆（-2，4），
A₇（2，4），A₈（4，4），
∵2015÷8=251余7，
∴點(diǎn)A₂₀₁₅為第252循環(huán)組的第一象限的倒數(shù)第二個(gè)點(diǎn)，
∴A₂₀₁₅（2⁵⁰³，2⁵⁰⁴），
點(diǎn)A_n的坐標(biāo)恰好為（4^m，4ⁿ）（m、n均為正整數(shù)），請(qǐng)寫出m和n的關(guān)系式m=n．
故答案為：（1，-2）；（2⁵⁰³，2⁵⁰⁴），m=n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形變化，利用坐標(biāo)變化規(guī)律：第m循環(huán)組：（2^2m-2，-2^2m-2）（2^2m-2，-2^2m-1），（-2^2m-2，-2^2m-1）（-2^2m-1，-2^2m-1）（-2^2m-1，2^2m-1）（-2^2m-1，2^2m）倒數(shù)第而個(gè)是（2^2m-1，2^2m），最后一個(gè)是（2^2m，2^2m）是解題關(guān)鍵．