Question

1．正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P是對角線AC上一動點，過點P作PF⊥CD于點F，如圖1，當點P與點O重合時，顯然有DF=CF．

（1）如圖2，若點P在線段AO上（不與點A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于點E．
①求證：DF=EF；
②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若點P在線段OC上（不與點O、C重合），PE⊥PB且PE交直線CD于點E．請完成圖3并判斷（1）中的結(jié)論①、②是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論．（所寫結(jié)論均不必證明）

Answer 1

分析 （1）由正方形的性質(zhì)證得△BQP≌△PFE，從而得到DF=EF，由于△PCF和△PAG均為等腰直角三角形，故有PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF，易得PA=$\sqrt{2}$EF，進而得到PC、PA、CE滿足關(guān)系為：PC=$\sqrt{2}$CE+PA；
（2）同（1）證得DF=EF，三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA-PC=$\sqrt{2}$CE．

解答 解：
（1）如圖2，延長FP交AB于點Q，

①∵AC是正方形ABCD對角線，
∴∠QAP=∠APQ=45°，
∴AQ=PQ，
∵AB=QF，
∴BQ=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠QPB+∠FPE=90°，
∵∠QBP+∠QPB=90°，
∴∠QBP=∠FPE，
∵∠BQP=∠PFE=90°，
∴△BQP≌△PFE，
∴QP=EF，
∵AQ=DF，
∴DF=EF；
②如圖2，過點P作PG⊥AD．
∵PF⊥CD，∠PCF=∠PAG=45°，
∴△PCF和△PAG均為等腰直角三角形，
∵四邊形DFPG為矩形，
∴PA=$\sqrt{2}$PG，PC=$\sqrt{2}$CF，
∵PG=DF，DF=EF，
∴PA=$\sqrt{2}$EF，
∴PC=$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$（CE+EF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$CE+PA，
即PC、PA、CE滿足關(guān)系為：PC=$\sqrt{2}$CE+PA；
（2）結(jié)論①仍成立；結(jié)論②不成立，此時②中三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA-PC=$\sqrt{2}$CE．
如圖3：

①∵PB⊥PE，BC⊥CE，
∴B、P、C、E四點共圓，
∴∠PEC=∠PBC，
在△PBC和△PDC中有：BC=DC（已知），∠PCB=∠PCD=45°（已證），PC邊公共邊，
∴△PBC≌△PDC（SAS），
∴∠PBC=∠PDC，
∴∠PEC=∠PDC，
∵PF⊥DE，
∴DF=EF；
②同理：PA=$\sqrt{2}$PG=$\sqrt{2}$DF=$\sqrt{2}$EF，PC=$\sqrt{2}$CF，
∴PA=$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$（CE+CF）=$\sqrt{2}$CE+$\sqrt{2}$CF=$\sqrt{2}$CE+PC
即PC、PA、CE滿足關(guān)系為：PA-PC=$\sqrt{2}$CE．

點評 本題是一個動態(tài)幾何題，考查用正方形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形相似的條件和性質(zhì)進行有條理的思考和表達能力．利用條件構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．本題涉及知識點較多，綜合性很強，難度適中．