Question

3．如圖，AB是⊙O的直徑，D為OB的中點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EF與⊙O相切于點(diǎn)F，點(diǎn)C在⊙O上，且四邊形CDEF是平行四邊形，若AB=8，則CF的長(zhǎng)為$\sqrt{33}$-1．

Answer 1

分析 連接OF，過(guò)O作OH⊥CF于H，于是得到∠OHF=90°，CF=2HF，由于EF與⊙O相切于點(diǎn)F，得到OF⊥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠HFO=∠FOE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：連接OF，過(guò)O作OH⊥CF于H，
則∠OHF=90°，CF=2HF，
∵EF與⊙O相切于點(diǎn)F，
∴OF⊥EF，
∴∠OHF=∠OFE，
∵四邊形CDEF是平行四邊形，
∴CF∥EO，CF=DE，
∴∠HFO=∠FOE，
∴△OFH∽△OEF，
∴$\frac{HF}{OF}=\frac{OF}{OE}$，
∵D為OB的中點(diǎn)，AB=8，
∴OF=4，OD=2，
設(shè)HF=x，則CF=DE=2x，
∴OE=2+2x，
∴$\frac{x}{4}$=$\frac{4}{2+2x}$，
∴x=$\frac{\sqrt{33}-1}{2}$（負(fù)值舍去）
∴CF=$\sqrt{33}$-1．
故答案為：$\sqrt{33}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；若出現(xiàn)圓的切線，必連過(guò)切點(diǎn)的半徑，得出垂直關(guān)系．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．