Question

10．如圖所示，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，CD=3，試求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 如圖，過(guò)B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，由∠BAC=45°可以得到BE=AE，再根據(jù)已知條件可以證明△AFE≌△BCE，可以得到AF=BC=10，而∠FBD=∠DAC，又∠BDF=∠ADC=90°，由此可以證明△BDF∽△ADC，所以FD：DC=BD：AD，設(shè)FD長(zhǎng)為x，則可建立關(guān)于x的方程，解方程即可求出FD，AD的長(zhǎng)．

解答 解：如圖，過(guò)B作BE⊥AC，垂足為E交AD于F，
∵∠BAC=45°，
∴BE=AE，
∵∠C+∠EBC=90°，∠C+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠EBC，
在△AFE與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAF=∠EBC}\\{BE=AE}\\{∠FEA=∠CEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△BCE（ASA），
∴AF=BC=BD+DC=5，∠FBD=∠DAC，
又∵∠BDF=∠ADC=90°，
∴△BDF∽△ADC，
∴FD：DC=BD：AD，
設(shè)FD長(zhǎng)為x，則
x：2=3：（x+5），
解得x=1，即FD=1，
∴AD=AF+FD=5+1=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．