Question

10．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O外一點(diǎn)，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．
（1）求證：CD是⊙O的切線．
（2）若AB=4，AC=3，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，易證△CAO≌△CDO（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得∠CDO=∠CAO=90°，即CD⊥OD，進(jìn)而可證明CD是⊙O的切線．
（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD，垂足為E，首先利用勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，再證明△OEB∽△CAO，由相似三角形的性質(zhì)可求出BE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BD的長(zhǎng)．

解答 解：
（1）證明：如圖，連接OD．
∵BD∥CO，
∴∠DBO=∠COA，∠ODB=∠COD．
在☉O中，OB=OD，
∴∠DBO=∠ODB．
∴∠COA=∠COD．
在△CAO和△CDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠COA=∠COD}\\{CO=CO}\end{array}\right.$
∴△CAO≌△CDO（SAS）．
∴∠CDO=∠CAO=90°．
即  CD⊥OD．
又∵OD是⊙O的半徑，
∴CD是⊙O的切線．  
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD，垂足為E．
在⊙O中，OE⊥BD，
∴BE=DE．
在Rt△CAO中，OC=$\sqrt{32+22}$=$\sqrt{13}$．
∵∠COA=∠OBE，∠CAO=∠OEB，
∴△OEB∽△CAO．
∴$\frac{OA}{BE}$=$\frac{CO}{OB}$．
∴$\frac{2}{BE}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴BE=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$．
∴BD=2BE=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判斷和性質(zhì)、全等三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判斷和性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．