Question

13．如圖，在矩形ABCD中，把∠B，∠D分別翻折，使點B，D分別落在對角線AC上的點E，F處，折痕分別為CM，AN．
（1）求證：△AND≌△CMB；
（2）連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形；四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由；
（3）點P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點，連接PQ、CQ、MN，如圖2所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4，BC=3，DN=$\frac{3}{2}$，求PC的長度．

Answer 1

分析 （1）根據折疊的性質得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，從而根據AD∥BC可得出∠DAN=∠BCM，從而即可判斷出△ADN≌△CBM．
（2）連接NE、MF，根據（1）的結論可得出NF=ME，再由∠NFE=∠MEF可判斷出NF∥ME，在直角三角形NFE中，NE為斜邊，NF為直角邊，可判斷四邊形MFNE不是菱形．
（3）設AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G點，首先求出AC=5，根據翻折變換知：AF=CE=3，于是可得AF+（CE-EF）=5，可得EF=1，在Rt△NFE中，NO²=NF²+OF²，求出NO的長，即NM=PQ=QC=2NO，PC=2$\sqrt{P{Q}^{2}-Q{G}^{2}}$．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=∠D=90°，
由折疊的性質得出∠DAN=∠NAC，∠BCM=∠ACM，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∴∠DAN=∠BCM，
在Rt△AND和Rt△CMB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAN=∠BCM}&{\;}\\{∠D=∠B}&{\;}\\{AD=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∵∴△AND≌△CMB（AAS）
（2）解：由（1）得：△AND≌△CMB，
∴NF=ME，
∵∠NFE=∠MEF，
∴NF∥ME，
∴四邊形MFNE是平行四邊形，
∵MN與EF不垂直，
∴四邊形MFNE不是菱形；
（3）解：設AC與MN的交點為O，EF=x，作QG⊥PC于G點，如圖所示：
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5，
∵AF=CE=BC=3，
∴2AF-EF=AC，即6-x=5，
解得：x=1，
∴EF=1，
∴CF=2，
由折疊的性質得：NF=DN=$\frac{3}{2}$，
∵OE=OF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{1}{2}$，
∴在Rt△NFO中，ON²=OF²+NF²，
∴ON=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴MN=2ON=$\sqrt{10}$，
∵PQ∥MN，PN∥MQ，
∴四邊形MQPN是平行四邊形，
∴MN=PQ=$\sqrt{10}$，
∵PQ=CQ，
∴△PQC是等腰三角形，
∴PG=CG，
在Rt△QPG中，PG²=PQ²-QG²，
∴PG=$\sqrt{10-9}$=1，
∴PC=2PG=2．

點評 本題是四邊形綜合題目，考查了翻折變換的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、平行四邊形的判定與性質、菱形的判定等知識；本題綜合性強，有一定難度，熟練掌握折疊的性質和正方形的性質是解決問題的關鍵．