Question

12．如圖，已知以Rt△ABC的AC邊為直徑作⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，連接EF．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AD的長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$，∠EAC=60°，求
①⊙O的半徑；
②求圖中陰影部分的面積（保留π及根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）連接FO，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OF∥AB，由于AC是⊙O的直徑，得出CE⊥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出OF⊥CE，于是得到OF所在直線垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到結(jié)論；
（2）①設(shè)⊙O的半徑為r，解直角三角形得到CD=$\sqrt{3}$r，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；②根據(jù)已知條件得到BC=4$\sqrt{3}$，∠B=30°，由于AC是⊙O的直徑，得到CE⊥AB，于是得到S_△EFC=$\frac{1}{2}$S_△BCE=6$\sqrt{3}$，求得S_△CEO=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：如圖，連接FO，
∵F為BC的中點(diǎn)，AO=CO，
∴OF∥AB，
∵AC是⊙O的直徑，
∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，
∴OF⊥CE，
∴OF所在直線垂直平分CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，
即：∠0CE+∠FCE=90°，
∴∠0EC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，
∴FE為⊙O的切線；

（2）解：①設(shè)⊙O的半徑為r，
∴AO=CO=EO=r，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，
∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=r，
∴CD=$\sqrt{3}$r，
∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，
∴AC²+CD²=AD²，
即（2r）²+（$\sqrt{3}$r）²=（2$\sqrt{7}$）²，
∴r=2，
∴⊙O的半徑是2；
②∵∠BAC=60°，AC=4，
∴BC=4$\sqrt{3}$，∠B=30°，
∵AC是⊙O的直徑，
∴CE⊥AB，
∴CE=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴BE=6，
∴S_△EFC=$\frac{1}{2}$S_△BCE=3$\sqrt{3}$，
∵S_△CEO=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_{四邊形EFCO}-S_扇形=3$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$-$\frac{120•π×{2}^{2}}{360}$=4$\sqrt{3}$-$\frac{4}{3}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，證得△AOE是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．