Question

20．如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，與⊙O的切線BE交于點(diǎn)E，連接DE．
（1）求證：BD=CD；
（2）求證：△CAB∽△CDE；
（3）設(shè)△ABC的面積為S₁，△CDE的面積為S₂，直徑AB的長(zhǎng)為x，若∠ABC=30°，S₁、S₂ 滿(mǎn)足S₁+S₂=$28\sqrt{3}$，試求x的值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)锳B=AC，欲證明BD=DC，只要證明AD⊥BC即可．
（2）可以根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似進(jìn)行證明．
（3）分別用x表示S₁、S₂，列出方程即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD．
（2）∵AB∥CE，
∴∠2=∠1，
∵AB=AC，
∴∠1=∠3，
∵BE是⊙O切線，
∴∠ABE=90°，
∵AB∥CE，
∴∠BEC+∠ABE=90°，
∴∠BEC=90°，
∵BD=DC，
∴DE=DB=DC，
∴∠2=∠4，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∴△CAB∽△CDE．
（3）∵S₁=$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}$x•$\frac{1}{2}$x=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²．
∵△CAB∽△CDE，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}x}$）²=$\frac{4}{3}$，
∴S₂=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$x²，
由題意：$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+$\frac{3\sqrt{3}}{16}$x²=28$\sqrt{3}$，
∴x=±8，
∵x＞0，
∴x=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題目，難度不大，是中考�？碱}型．